于是，薛定谔把这个歪打正着的方程发表了。

薛定谔方程是这么“上位”的，这导致它在电子接近光速运动时就失效了。

薛定谔最初写下的方程其实是：

克莱因-戈登方程

（现在看来，随便一个学过物理的人都能推导出这个方程。）

这个方程是通往狄拉克方程的一个小插曲，笔者有必要介绍一下它。

上面已经回顾了薛定谔方程的推导过程，依葫芦画瓢，如果想描述高速运动的电子，只需要借鉴一下狭义相对论的能量-动量关系：

再乘一个波函数Ψ：

然后再看一看波函数的性质，找出需要用的公式：

这样就可以得到克莱因-戈登方程：

当然，这是一维的克莱因-戈登方程。依葫芦画瓢，还可以写出三维的克莱因-戈登方程：

这个方程被很多人用很多方法得到过，听起来很高大上，看起来也很高大上，实际上却是个“绣花枕头”。

求解这个方程，算不出氢原子能级公式也就算了，竟然还会出现负的概率和负的能量，一看就知道没戏。

多说几句，克莱因-戈登方程也不是一无是处。

虽然它不能描述自旋为半整数的费米子（比如电子），但可以描述自旋为零的粒子，比如希格斯玻色子、介子。

薛定谔方程缺陷严重、克莱因-戈登方程是“绣花枕头”，最终的方程究竟该怎么写？

还是要从狭义相对论的能量-动量关系入手。不过要注意，不能像克莱因-戈登方程那样“玩过了”。

克莱因-戈登方程之所以“玩过了”（出现负的概率和负的能量），是因为：

（至于问题为什么出在这里，恐怕只有当年的那一批物理学家知道。）

所以应该使用的能量-动量关系是：

乘以波函数Ψ，可以得到：

但是，根号的出现，让整个方程变得混乱不堪，还不如原本的克莱因-戈登方程。

所以对于相对论的能量-动量关系：

需要消除根号，而且还不能用等号两边平方的方法去消除根号，不然就又回到了克莱因-戈登方程。

此时的物理学家：

走到这一步，真的可以算是“前不着村，后不着店”，物理学家似乎陷入了“死循环”，难道狭义相对论和量子力学不兼容吗？

狄拉克的思路是：

既消除了根号，又没有平方，堪称完美！

是不是有一种“从地狱到天堂”的感觉？

但是，别高兴得太早，α和β真的存在吗？

什么意思？

狄拉克的想法相当于：

大家可以自己思考一阵子，看看能不能得到满足条件的A和B。

我可以告诉大家，A和B在实数域内找不到解，在复数域内也找不到解。更让人绝望的是，如果你的思路是：

那么A和B根本就没有解！

是不是有一种“从天堂到地狱”的感觉？

狄拉克的妙计似乎并不妙，也只是个“绣花枕头”。这件事放在别人身上或许就不了了之了，不过很可惜，狄拉克终究是狄拉克。

矩阵！

A和B可以是矩阵，说得准确一点，是2x2矩阵！

矩阵并不神秘，就是把一堆数排列在一起，矩阵的乘法通常不满足乘法交换律。

（限于篇幅，正文里就不介绍矩阵的计算方法了，评论区里会附上矩阵的计算方法。）

知道了矩阵的妙用，回到当初的问题：

所以真正的问题是：

它们都是4x4矩阵，被称为狄拉克矩阵：

想知道怎么推导狄拉克矩阵？

这不是强人所难吗，连我这种人都能搞懂的话，还能叫神来之笔吗？

现在可以写出新的满足狭义相对论的能量-动量关系：

结合波函数的性质：

可以得到：

这就是狄拉克方程！

（1928年，26岁的狄拉克得到了这个方程。）

不过这种形式的方程和网上常见的狄拉克方程相差甚远，所以我有必要说明一下各种形式的狄拉克方程是怎么来的。

首先，把等号右边的一些项移到等号左边：

然后，在等号两边都乘以一个β矩阵，这个β矩阵就是上面的四个狄拉克矩阵中的其中一个矩阵。（β矩阵乘β矩阵是单位矩阵，在这个方程里可以认为单位矩阵就是1）：

上面的方程还可以写成：

把等号右边的项移到等号左边就可以得到：

如果采用自然单位制，就可以得到：

文章来源：《电子技术应用》 网址: http://www.dzjsyyzz.cn/zonghexinwen/2022/1208/464.html